Главная » 2014 » Март » 13 » Дифференциальные уравнения равновесия жидкости и их интегрирование для простейшего случая.
20:16
Дифференциальные уравнения равновесия жидкости и их интегрирование для простейшего случая.
Дифференциальные уравнения равновесия жидкости и их интегрирование для простейшего случая
Получим дифференциальные уравнения равновесия жидкости в общем случае, когда на нее действуют не только сила тяжести, но и другие массовые силы, например, силы инерции переносного движения при так называемом относительном покое (см. пп. 1.10 и 1.11).
В неподвижной жидкости возьмем произвольную точку М с координатами х, у и z и давлением р (рис. 1.8). Систему координат будем считать жестко связанной с сосудом, содержащим жидкость. Выделим в жидкости элементарный объем в форме прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными координатным осям и соответственно равными dx, dy и dz. Пусть точка М будет одной из вершин параллелепипеда. Рассмотрим условия равновесия выделенного объема жидкости. Пусть внутри параллелепипеда на жидкость действует равнодействующая массовая сила, составляющие которой, отнесенные к единице массы (см. п. 1.2), равны X, Y и Z. Тогда массовые силы, действующие на выделенный объем в направлении координатных осей, будут равны этим составляющим, умноженным на массу выделенного объема. Давление р есть функция координат х, у и z, но вблизи точки М по всем трем граням параллелепипеда оно одинаково, что вытекает из доказанного выше свойства гидростатического давления (см. п. 1.4). При переходе от точки М, например, к точке N изменяется лишь координата х на бесконечно малую величину dx, в связи с чем функция р получает приращение, равное частному дифференциалу (др/дх) dx, поэтому давление в точке N равно
Заменяя в уравнении (1.26) разность z0 — z на h — глубину расположения точки М, найдем p = p0 + pgh. Получили то же основное уравнение гидростатики [(1.20) или (1.21)], которое было выведено в предыдущем параграфе иным путем. Интегрирование уравнения (1.24) для других случаев равновесия будет рассмотрено ниже (см. пп. 1.10 и 1.11).
