Главная » 2014 » Март » 20 » Равномерное вращение сосуда с жидкостью.
20:06
Равномерное вращение сосуда с жидкостью.
Равномерное вращение сосуда с жидкостью
Возьмем открытый цилиндрический сосуд с жидкостью и сообщим ему вращение с постоянной угловой скоростью со вокруг его вертикальной оси. Жидкость постепенно приобретет ту же угловую скорость, что и сосуд, а свободная поверхность ее видоизменится; в центральной части уровень жидкости понизится, у стенок — повысится, и вся свободная поверхность жидкости станет некоторой поверхностью вращения (рис. 1.18). На жидкость в этом случае будут действовать две массовые силы — сила тяжести и центробежная сила, которые, будучи отнесенными к единице массы, соответственно равны g и со2г. Равнодействующая массовая сила j увеличивается с увеличением радиуса за счет второй составляющей, а угол наклона ее к горизонту уменьшается. Эта сила нормальна к свободной поверхности жидкости, поэтому наклон этой поверхности с увеличением радиуса возрастает. Найдем уравнение кривой АОВ в системе координат гиг с началом в центре дна сосуда. Учитывая, что сила j является нормалью к кривой А ОБ, из чертежа находим tg а = dz/dr = (o2r/g, откуда dz = со2г dr/g, или после интегрирования z = coV/(2g) + C. В точке пересечения кривой АОВ с осью вращения г = 0, z = h = С, поэтому окончательно будем иметь z = h + ^/(2g), (1.34) т. е. кривая АОВ является параболой, а свободная поверхность жидкости — параболоидом. Такую же форму имеют и другие поверхности уровня. Пользуясь уравнением (1.34), можно определить положение свободной поверхности в сосуде, например максимальную высоту Н подъема жидкости и высоту h расположения вершины параболоида при данной угловой скорости со. Для этого необходимо использовать еще уравнение объемов: объем неподвижной жидкости равен ее объему во время вращения. Для определения закона изменения давления во вращающейся жидкости в функции радиуса и высоты поступим аналогично тому, как это сделано в п. 1.5. Выделим вертикальный цилиндрический объем жидкости с основанием в виде элементарной горизонтальной площадки dS (точка М) на произвольном радиусе г и высоте z и запишем условие его равновесия в вертикальном направлении. С учетом уравнения (1.34) будем иметь р dS - [h - z + coV2/(2g)] pg dS - — p0 (dS/cos a) cos a = 0. После сокращений получим p = p0 + [h-z + tfr*/(2g)]pg. (1.35) Это значит, что давление возрастает пропорционально радиусу и уменьшается пропорционально высоте z. Если сосуд, вращающийся вокруг вертикальной оси, имеет крышку и заполнен жидкостью доверху, то ее форма измениться не может, по изменяется давление в соответствии с выражением (1.35). На рис. 1.19 показана эпюра давления по крышке, стенке и дну сосуда.
Рис. 1.18. Поверхность жидкости при вращении открытого сосуда вокруг вертикальной оси
На практике часто рассматривается вращение сосуда с жидкостью, когда угловая скорость со столь велика, что силой тяжести можно пренебречь по сравнению с центробежными силами. При этом закон изменения давления в жидкости легко получить из формулы (1.35), в которой следует принять z = h = 0. Угол, образуемый осью вращения сосуда с вертикалью, значения не имеет, а поверхности уровня можно считать круглыми цилиндрами с общей осью — осыо вращения сосуда. Если к тому же давление р0 действует не в центре, а при г = г0, то очевидно, что вместо выражения (1.35) будем иметь р=Ро + рсо2(га-г?)/2. (1.35') Часто бывает необходимо определить силу давления вращающейся вместе с сосудом жидкости на его стенку, нормальную к оси вращения (или на кольцевую часть этой стенки). Для этого необходимо выразить сначала силу давления, приходящуюся на элементарную кольцевую площадку радиусом г и шириной dr: dF = р dS — fp0 + рсо2 (г2 - г?)/2] 2лг dr, а затем выполнить интегрирование в требуемых пределах. При большой угловой скорости жидкости можно получить весьма значительную суммарную силу давления на стенку. Это используется в некоторых фрикционных муфтах, где для осуществления сцепления двух валов требуется создание больших сил нормального давления. Способ, указанный выше, применяют для определения силы осевого давления жидкости на рабочие колеса центробежных насосов, а также на крышки центрифуг.
Рас. 1.19. Эпюры давлений па крышку, стенку и дно вращающегося сосуда
Те же формулы для рассмотренного случая относительного покоя можно вывести путем интегрирования дифференциального уравне¬ния (1.24) равновесия жидкости. Поместив начало координат в центре дна сосуда и направив ось z вертикально вверх, получим
