Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости
Рассмотрим установившееся течение идеальной жидкости, находящейся под действием лишь одной массовой силы — силы тяжести, и выведем для этого случая основное уравнение, связывающее между собой давление в жидкости и скорость ее движения. Возьмем одну из элементарных струек, составляющих поток, п выделим сечениями 1 и 2 участок этой струйки произвольной длины (рис. 1.22). Пусть площадь первого сечения равна dSv скорость внем vv давление plf а высота расположения центра тяжести сечения, отсчитанная от произвольной горизонтальной плоскости сравнения, zv Во втором сечении соответственно dS2, и2, р2 и z2. За бесконечно малый отрезок времени dt выделенный участок струйки переместится в положение 1'—2'. Применим к массе жидкости в объеме участка струйки теорему механики о том, что работа сил, приложенных к телу, равна приращению кинетической энергии этого тела. Такими силами в данном случае являются силы давления, действующие нормально к поверхности рассматриваемого участка струйки, и сила тяжести. Подсчитаем работу сил давления, силы тяжести и изменение кинетической энергии участка струйки за время dt. Работа силы давления в первом сечении положительна, так как направление силы совпадает с направлением перемещения, и выражается как произведение силы p^IS на путь vxdt: Pi dS\ i\ dt. Работа силы давления во втором сечении имеет знак минус, так как направление силы прямо противоположно направлению перемещения, и определяется выражением — р2 dS2v2 dt. Силы давления, действующие по боковой поверхности отрезка струйки, работы не производят, так как они нормальны к этой поверхности, а следовательно, нормальны и к перемещениям. Итак, работа сил давления будет равна Pivi dSi dt — p2v2 dS2 dt. (1-43) Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии положения участка струйки, поэтому надо из энергии положения жидкости в объеме 1 — 2 вычесть энергию положения жидкости в объеме 1' — 2'. При этом энергия положения промежуточного объема 1' — 2 сократится, и останется лишь разность энергий элементов 1 — 1', 2 — 2'. Если учесть уравнение расхода (1.41), то нетрудно заметить, что объемы, а. следовательно, и силы тяжести за-штрихованных элементов 1 — 1' и 2 — 2' равны между собой: dG = рgvx dSx dt = рgv2 dS2 dt. (1.44) Тогда работа силы тяжести выразится как произведение разности высот на силу тяжести dG:
Рис. 1.22. Схема для вывода уравнения Бернулли
(zj — z2) dG. (1.45) Чтобы подсчитать приращение кинетической энергии рассматриваемого участка струйки за время dt, необходимо из кинетической энергии объема V — 2' вычесть кинетическую энергию объема 1 — 2. При вычитании кинетическая энергия промежуточного объема 1' — 2 сократится, и останется лишь разность кинетических энергий элементов 2 — 2' и 1 — 1', сила тяжести каждого из которых равна dG.
Таким образом, приращение кинетической энергии равно называется полным напором.
Уравнение Бернулли (1.47) записано для двух произвольно взятых сечений струйки п выражает равенство полных напоров Н в этих сечениях. Так как сечения взяты произвольно, следовательно, и для любого другого сечения этой же струйки полный напор будет иметь то же значение:
Д. Бернулли (1700—1782 гг.) — швейцарский ученый, сын известного математика Иоганна Бернулли, с 1725 по 1733 год жил в России, являясь профессором, а затем почетным членом Петербургской академии наук; с 1733 г. — профессор Базельского университета. В своем труде «Гидродинамика» осветил ряд гидравлических вопросов и в том числе вывел указанное выше уравнение. Считается одним из основоположников гидравлики как науки.
Рис. 1.23. Изменение пьезометрического в скоростного напоров вдоль струйки идеальной жидкости
Итак, для идеальной движущейся жидкости сумма трех напоров (высот): геометрического, пьезометрического и скоростного есть величина постоянная вдоль струйки. Это положение иллюстрируется графиком, приведенным на рис. 1.23, где показано изменение всех трех высот вдоль струйки. Линия изменения пьезометрических высот называется пьезометрической линией, ее можно рассматривать как геометрическое место уровней в пьезометрах, установленных вдоль струйки. Для горизонтального участка струйки из уравнения Бернулли и уравнения расхода следует, что если площадь поперечного сечения струйки уменьшается, т. е. струйка сужается, то скорость течения жидкости увеличивается, а давление уменьшается, и наоборот, если струйка расширяется, то скорость уменьшается, а давление возрастает. На рис. 1.23 в виде примера показана струйка, площадь поперечного сечения которой от сечения 1 — 1 к сечению 2 — 2 уменьшается в 4 раза, в связи с чем скоростной напор увеличивается в 1G раз, а сечение 3 — 3 имеет ту же площадь, что и сечение 1 — 1. Штриховой линией показана пьезометрическая линия при увеличении расхода в |/2 раз, вследствие чего скоростные высоты увеличиваются в 2 раза, а в узкой части струйки давление становится меньше атмосферного. Уравнение Бернулли можно записать в двух других формах. Разделим уравнение (1.46') на массу dm отрезка, равную pv^S^t — = pv2dS2dt и преобразуем уравнение подобно предыдущему. Тогда вместо выражения (1.47) будем иметь
Рассмотрим энергетический смысл уравнения Бернулли, записанный в форме (1.48). Условимся называть удельной энергией жидкости энергию, отнесенную к единице массы. Нетрудно показать, что члены этого уравнения являются различными формами удельной механической энергии жидкости, а именно: gz — удельная энергия положения, так как частица жидкости массой Am, находясь на высоте г, обладает энергией положения, равной Amgz, а на единицу массы приходится энергия gAmz/Am = = gz; р/ р — удельная энергия давления движущейся жидкости, так как частица жидкости массой Am при давлении р обладает способностью подняться на высоту р/pg и приобрести энергию положения Amgpl(pg) (после деления на Am получаем р/ р); gz -f р/ р — удельная потенциальная энергия жидкости; v2/2 — удельная кинетическая энергия жидкости, так как для той же частицы Am кинетическая энергия, отнесенная к единице массы, Amv2/2 : Am = i/2/2; Hg — zg + р/ P + — полная удельная механическая энергия движущейся жидкости. Таким образом, энергетический смысл уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости заключается в постоянстве вдоль струйки полной удельной энергии жидкости. Следовательно, уравнение Бернулли выражает закон сохранения механической энергии в идеальной жидкости. Механическая энергия движущейся жидкости может иметь три формы: энергия положения, давления и кинетическая энергия. Первая и третья формы механической энергии известны из механики и они в равной степени свойственны твердым и жидким телам. Энергия давления является специфической для движущихся жидкостей. Б процессе движения идеальной жидкости одна форма энергии может превращаться в другую, однако полная удельная энергия при этом, как следует из уравнения Бернулли, остается без изменений. Энергию давления легко преобразовать в механическую работу. Простейшим устройством, с помощью которого осуществляют такое преобразование, является цилиндр с поршнем (рис. 1.24). Покажем, что при этом преобразовании каждая единица массы жидкости совершает работу, численно равную р/ р. Пусть площадь поршня равна S, его ход L, избыточное давление жидкости, подводимой к левой полости цилиндра р, избыточное давление по другую сторону поршня равно нулю. Тогда суммарная сила давления жидкости, равная силе F, преодолеваемой при перемещении поршня из левого положения в правое: F = pS, а работа этой силы А — pSL. Масса жидкости, которую необходимо подвести к цилиндру для совершения этой работы, равна массе жидкости в объеме цилиндра, т. е. т — SL р.
Следовательно, работа, приходящаяся на 1 кг массы,
Теперь члены уравнения Бернулли имеют размерность давления (Па) и называются так: pgz — весовое давление; р — гидромеханическое давление (или просто давление); pi>2/2 — динамическое давление. Члены уравнения (1.49) представляют собой различные виды механической энергии жидкости, отнесенные к единице ее объема, а члены уравнения (1.47) — те же виды энергии, отнесенные к единице веса.
