Главная » 2014 » Июль » 9 » Уравнение Бернулли для потока реальной (вязкой) жидкости.
12:52
Уравнение Бернулли для потока реальной (вязкой) жидкости.
Уравнение Бернулли для потока реальной (вязкой) жидкости
При переходе от элементарной струйки идеальной жидкости к потоку реальной (вязкой) жидкости, имеющему конечные размеры и ограниченному стенками, необходимо учесть неравномерность распределения скоростей по сечению, а также потери энергии (напора). То и другое является следствием вязкости жидкости.
При движении вязкой жидкости вдоль твердой стенки, например, в трубе, происходит торможение потока вследствие влияния вязкости, а также из-за действия сил молекулярного сцепления между жидкостью и стенкой. Поэтому наибольшего значения скорость достигает в центральной части потока, а по мере приближения к стенке она уменьшается практически до нуля. Получается распределение скоростей, подобное тому, которое показано на рис. 1.26. Неравномерное распределение скоростей означает скольжение (сдвиг) одних слоев или частей жидкости по другим, вследствие чего возникают касательные напряжения (напряжения трения). Кроме того, движение вязкой жидкости часто сопровождается вращением частиц, вихреобразованием и перемешиванием. Все это требует затраты энергии, поэтому удельная энергия движущейся вязкой жидкости не остается постоянной, как в случае идеальной жидкости, а постепенно расходуется на преодоление сопротивлений и, следовательно, уменьшается вдоль потока. Из-за неравномерного распределения скоростей приходится вводить в рассмотрение среднюю по сечению скорость г;Ср (см. п. 1.13), а также среднее значение удельной энергии жидкости в данном сечении. Прежде чем приступить к рассмотрению уравнения Бернулли для потока вязкой жидкости, сделаем следующее допущение: будем считать, что в пределах рассматриваемых поперечных сечений потока справедлив основной закон гидростатики, например в форме (1.21), т. е. гидростатический напор в пределах сечения есть величина, одинаковая для всех точек данного сечения:
2 + Р/(Рё) = const,
т. е. предполагаем, что при движении жидкости отдельные струйки оказывают одна на другую в поперечном направлении такое же давление, как слои жидкости в неподвижном состоянии. Это соответствует действительности и может быть доказано теоретически в том случае, когда течение в данных поперечных сечениях является параллельноструйным. Поэтому именно такие (или близкие к ним) поперечные сечения и будем рассматривать. Введем понятие мощности потока. Мощностью потока в данном сечении будем называть полную энергию, которую проносит поток через это сечение в единицу времени. Так как в различных точках поперечного сечения потока частицы жидкости обладают различной анергией, сначала выразим элементарную мощность (мощность элементарной струйки) в виде произведения полной удельной энергии жидкости в данной точке на элементарный массовый расход:
Если умножить числитель и знаменатель выражения (1.54) на р/2, то нетрудно убедиться, что коэффициент а представляет собой отношение действительной кинетической энергии потока в данном сечении к кинетической энергии того же потока и в том же сечении, но при равномерном распределении скоростей. Для обычного распределения скоростей (см. рис. 1.26) коэффициент а всегда больше единицы *, а при равномерном распределении скоростей равен единице. Возьмем два сечения реального потока, первое и второе, и обозначим средние значения полного напора жидкости в этих сечениях соответственно НСт и Нс Тогда
* Это можно доказать, если в формуле (1.54) скорость v выразить в виде суммы v — i'cp + Ди, интеграл разбить на четыре интеграла и проанализировать численное значение каждого из них.
Это и есть уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости. От аналогичного уравнения для элементарной струйки идеальной жидкости полученное уравнение отличается членом, представляющим собой потерю полного напора, и коэффициентом, учитывающим неравномерность распределения скоростей. Кроме того, скорости, входящие в это уравнение, являются средними по сечениям. Умножив уравнение (1.55) на g, получим форму записи уравнения Бернулли, соответствующую формуле (1.48), где члены выражают виды энергии, отнесенной к единице массы, а член gHhn представит собой потерю удельной энергии жидкости. Умножение уравнения (1.55) на рg даст третью форму записи уравнения Бернулли для потока вязкой жидкости, соответствующую формуле (1.49), но член рg2,hn выражает потерю энергии, отнесенную к единице объема жидкости. Уравнение Бернулли (1.55) и его формы применимы не только для жидкостей, но и для газов при условии, что скорость их движения значительно меньше скорости звука. Графически это уравнение можно представить диаграммой подобно тому, как это делали для идеальной жидкости, но с учетом потери напора. Последняя является некоторой высотой, которая неуклонно возрастает вдоль потока (рис. 1.27).
Если для струйки идеальной жидкости уравнение Бернулли представляет собой закон сохранения механической энергии, то для потока реальной жидкости оно является уравнением баланса энергии с учетом потерь. Энергия, теряемая жидкостью на рассматриваемом участке течения, разумеется, не исчезает бесследно, а лишь превращается в другую форму — тепловую. Так как удельная теплоемкость жидкостей обычно велика по сравнению с потерями удельной энергии, а также ввиду того, что тепловая энергия непрерывно рассеивается, повышение температуры часто бывает практически малозаметным. Этот процесс преобразования механической энергии в тепловую является необратимым, т. е. таким, обратное течение которого (превращение тепловой энергии в механическую) невозможно. Уменьшение среднего значения полной удельной энергии жидкости вдоль потока, отнесенное к единице его длины, называется гидравлическим уклоном. Изменение удельной потенциальной энергии жидкости, отнесенное к единице длины, называется пьезометрическим уклоном. Очевидно, что в трубе постоянного диаметра с неизменным распределением скоростей указанные уклоны одинаковы.
