Главная » 2014 » Июнь » 13 » Вывод дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости и их интегрирование.
13:54
Вывод дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости и их интегрирование.
Вывод дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости и их интегрирование
В потоке идеальной жидкости возьмем произвольную точку М с координатами х, у, z (рис. 1.25) и выделим у этой точки элемент жидкости в форме прямоугольного параллелепипеда так, чтобы точка М была бы одной из его вершин. Пусть ребра этого параллелепипеда будут параллельны координатным осям и соответственно равны 8х, б у и 6z. Составим уравнение движения выделенного элемента жидкости массой рбжбybz. Так же, как и при рассмотрении равновесия подобного объема жидкости (см. п. 1.6), будем считать, что внутри этого объема на жидкость действует результирующая массовая сила, составляющие которой, отнесенные к единице массы, равны X, Y и Z. Тогда массовые силы, действующие на выделенный объем в направлении координатных осей, будут равны этим составляющим, умноженным на массу выделенного объема. Если давление в точке М обозначить через р, то, рассуждая так же, как в п. 1.6, получим, что разность сил давления, действующих на параллелепипед, например, в направлении оси х, составляет
Скорость движения жидкости в точке М обозначим через v, а ее компоненты — через vx, vy и vz. Тогда проекции ускорения, с которым движется выделенный объем, будут равны: dvjdt, dvjdt и dvz/dt, а силы, которые необходимо ввести в уравнения движения по принципу Д'Аламбера, определяются как произведения этих ускорений на массу параллелепипеда.
Уравнения движения выделенного объема жидкости в проекциях на координатные оси будут иметь вид
Разделим эти уравнения почленно па массу элемента рб.гб;/6г и перейдем к пределу, устремляя одновременно 8х, 8у и 6z к нулю, т. е. стягивая параллелепипед к исходной точке М. Тогда в пределе получим уравнения движения жидкости, отнесенные к точке Mi
(1.50)
Полученная система дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости носит название уравнений Эйлера. Члены этих уравнений представляют собой соответствующие ускорения, а смысл каждого из уравнений заключается в следующем: полное ускорение частицы вдоль координатной оси складывается из ускорении от массовых сил и ускорения от сил давления. Уравнения Эйлера в таком виде справедливы как для несжимаемой, так и для сжимаемой жидкости, а также для случая, когда из числа массовых сил действует лишь сила тяжести, и для общего случая относительного движения жидкости (см. п. 1.18) При этом в величины X, Y и Z должны войти компоненты ускорения переносного (или поворотного) движения. Так как при выводе уравнений (1.50) не накладывались условия стационарности движения, то они справедливы и для неустановившегося движения. Рассматривая установившееся движение жидкости, умножим каждое из уравнений (1.50) на соответствующие проекции элементарного перемещения, равные dx = vxdt; dy — ovdt] dz = vzdt, и сложим уравнения. Будем иметь
